Variable aleatoria y probabilidad salir BAR backgammon

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Variable aleatoria

Las variables aleatorias discretas se emplean para definir funciones de probabilidad ligados a ciertos acontecimientos. Así pues vamos a definir la variable aleatoria discreta X que tiene ligado el acontecimiento:

“Salir del BAR en función a un número de espacios libres”.

En backgammon si tienes una ficha atrapada solo podrás salir en la casa del contrincante, en función a cuantas casillas estan libres u ocupadas tendrás más o menos probabilidades de que salga / salgan tus fichas y así quedar libre.

X = f(x = X)

Esto que signifca?, si x puede ser el número casillas libres en las que salir quiere decir “La funcion que define la probabilidad de salir con tu ficha con x casillas libres”.

Esacio muestral

Nuestro marco de actuación son las 36 combinaciones líbres del backgammon, dado que al salir del BAR no nos vale ninguna suma de dos dados, realmente no va ha importar que casilla esté libre.

Tabla distribución

La tabla de distribución para una sola ficha es la siguiente:

Puntos abiertos Combinaciones Probabilidad
0 0 0
1 11 31
2 20 56
3 27 75
4 32 89
5 35 97
6 36 100

Esto viene a ser de que existe 11 sobre 36 combinaciones de que salga al menos un numero en particular, 20 sobre 36 de que salga uno u otro…

Grafica de la función de distribución

 

 

El juego del pacto PSOE-IU en Andalucía contra el gigante PP en el gobierno

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Las elecciones de Andalucía han dado pie a una interesante reflexión que podemos analizar desde el punto de vista de la teoría de juegos. Se puede notar que es un juego competitivo, donde la política de uno de los jugadores, reduce la eficacia del otro. En realidad, se trata del modelo de juego “Destrucción Mutua Asegurada“:

  • PP: Su objetivo es tratar de calmar al mercado financiero cubriendo parte del gran déficit en España. Para ello aplica políticas de austeridad y ahorro. Su punto en contra es que extenua a España y su consumo interior, pero en caso de cubrir el déficit de forma adecuada dispondrá de nuevos préstamos a un interés asequibles con los que reactivar la economía.
  • PSOE-IU: El movimiento de este entra en conflicto contra el otro jugador. La política de la contingencia será la de insertar dinero en la sociedad. De tal manera que se mantenga un estado de bienestar. La forma de recuperar es que gracias al consumo se recauden arcas suficientes para cubrir los gastos además del pago de prestamos

Aunque definidos a grosso modo podemos captar la idea. Para simplificar el juego hablaremos de dos movimientos posibles. Movimiento halcón, donde deciden aplicar su política sin condiciones, y movimiento paloma, en el que se cedes tu posición al enemigo. Veamos la matriz de pago.

PSOE-IU

PP

Halcón

Paloma

Halcón

PSOE-IU: -4

PP: -4

PSOE-IU: 2

PP: -1

Paloma

PSOE-IU: -1

PP: 2

PSOE-IU: -1

PP: -1

En estas situaciones el equilibrio de Nash (una forma óptima de jugar), se encuentra en las estrategias Halcón-Paloma o Paloma-Halcón. Así pues uno de los dos contendientes debe ceder su posición, de lo contrario ninguna política tendrá efectividad y la destrucción mutua hará que entremos en una recesión más aguda de la actual.

¿Que opináis? ¿Andalucía cederá ante la política de austeridad del gobierno?, ¿El gobierno se comprometerá a mantener las ayudas que mantienen a la población de Andalucía flote?, ¿O ambos contendientes mantendrán posiciones y seguirán atacándose hasta destruirse los dos?

Optimizar daño por segundo a través de una grafica

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Ahora, empleando el método para optimizar el dps en league of legends narrado en el artículo anterior, podemos crear una gráfica que represente dónde debemos invertir nuestro oro a lo largo del juego.

Para ello creamos una matriz para los distintos valores en maxima, empleamos el siguiente comando:

makelist(solve([ec1,ec2,ec3,COST = X*1500])[4][1],X,1,15);
makelist(solve([ec1,ec2,ec3,COST = X*1500])[4][3],X,1,15);
makelist(solve([ec1,ec2,ec3,COST = X*1500])[4][4],X,1,15);

Así tendremos las matrices de la inversión optima por cada 1500 oros para AD, CR y AS respectivamente. Extrapolamos las matrices a una grafica y….

Podemos apreciar la importancia de la velocidad de ataque. Al final, notamos que debemos invertir un extra en la velocidad de ataque, mientras que nuestra inversión en daño y crítico tienen un valor paralelo excepto por un 10% extra en el daño… Por desgracia evaluar cuantias mayores de 12000 oro es inviable con este método, debido a que sobrepasamos la cantidad de crítico que podemos comprar en esta cantidad.

Optimizar Daño por segundo en League of Legends usando los extremos condicionados de Lagrange

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En este videotutorial explico usando las matematicas del cálculo diferencial. Para ello empleamos los multiplicadores de Lagrange para poder maximizar el dps resultante empleando una cantidad de oro determinada.

Formula del calculo del daño por segundo

\frac{\left( AS+1\right) \,\left( 20\,AD\,CR+10\,AD\,\left( 1-CR\right) \right) }{10}

Formula del calculo del coste de los atributos

47.3\,CR+26.7\,AS+38\,AD

Patron en maxima con los calculos

http://www.juegosyteoria.com/wp-content/uploads/calculos.wxm

Recorrer laberintos y mazmorras con teoria de los grafos II (Busqueda en profundidad)

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Este artículo es la continuación de recorrer laberintos y mazmorras I. Existe otra forma avanzar por una mazmorra en los diversos juegos empleando la teoria de los grafos. Es la llamada búsqueda por profundidad, y es el que empleamos intuitivamente cuando recorremos una mazmorra.

Basicamente se trata de ir avanzando habitación por habitación hasta que llegamos a la salida. Si nos quedamos sin salida entonces retrocedemos hasta el nivel donde teniamos otro camino sin explorar y continuamos por el, y así sucesivamente. El algoritmo bien formado seria el siguiente:

  1. Se marca todos los nodos del grafo como no visitados
  2. Se invoca BusquedaProfundidad(nodoInicial)

Secuencia de BusquedaProfundidad(x)

  1. Se marca y se visita nodoInicial
  2. Para cada vecino w de nodoInicial. Si el vecino w no esta marcado entonces se invoca BusquedaProfundidad(w)

Veamos el ejemplo grafico de mazmorra anterior, esta vez, lo recorreremos empleando la busqueda por profundidad.

Comenzamos desde el Nodo A. Cojemos alguna de las puertas, digamos que la 1.
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Recorrer laberintos y mazmorras con teoria de los grafos I

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El empleo de la teoria de grafos se puede aprovechar un multitud de juegos RPG (Role Playing Games), donde tenemos que avanzar por cierta mazmorra hasta encontrar el final de esta. Algunos juegos de este genero pueden ser Final Fantasy, Persona o incluso los juegos de la famosa saga Pokemon…

A menudo, si eres un jugador hardcore que quiere invertir horas recorriendolas te interesa visitar cada una de las habitaciones, al fin y al cabo en algunas se encuentran objetos valiosos. En este artículo introduciremos la forma de emplear las matemáticas discretas para convertir a un grafo dichos laberintos e ir resolviendo las direcciones que tomaremos de forma óptima para visitar todas las habitaciones.

Laberinto sencillo y su grafo

¿Que es un grafo? Es un elemento abstracto, está formado básicamente de nodos y de aristas. Los nodos son los puntos de inflexión a las que van conectadas las aristas. Si comparamos, un nodo puede ser una habitación y las aristas los diferentes pasillos que conectan habitaciones.

La busqueda por amplitud

Esta es la forma en la que deberias explorar si lo que deseas es invertir mucho tiempo pero poder visitar todas y cada una de las habitaciones mientras encuentras el fin del laberinto. También con esta forma exploraras todas las variaciones, así que podrás a través de la comparación figurar el camino más corto entre un punto y otro (en muchos juegos la mazmorra empieza a derrumbarse, conocer este detalle una vez explorada la mazmorra te ayudará a escapar en el menor tiempo posible).

El algoritmo que se emplea en una búsqueda por amplitud es el siguiente:

  1. Se marcan todos los nodos del grafo como no visitados.
  2. Se marca y se visita s (el nodo inicial)
  3. Se pone a s en la cola
  4. Mientras la cola no esté vacia:
    1. Se quita el primero de la cola, y se toma como nodo actual
    2. Para cada vecino del nodo actual:
      Si ese vecino no esta marcado, entonces se visita y se marca el vecino.
      Se actualiza el valor Dist del vecino.
      Se pone el vecino en la cola

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Introducción al cálculo de la rentabilidad de rake

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En las mesas de juego suele estar como consenso el cobro de una pequeña tasa a los jugadores cada vez que estos juegan. Así pues, si a la larga ganas el 50% de las partidas resulta que has acabado por perder dinero.

Esto es debido al Rake.

Existe una forma de calcular la rentabilidad del rake, o lo que es lo mismo, el % mínimo de partidas que debes ganar de media para que te salga rentable el juego.

Un ejemplo lo tenemos en la tasa de cobro por una partida de 1$ en bgroom.com. En una mesa libre cada jugador pone 1$ de entrada, el jugador que pierde acaba perdiendo lo apostado. Por otro lado, el jugador ganador recibe 1,75$ en cambio.

Así pues, podemos deducir que los jugadores aportan 0,25$ de impuesto por el juego. Estadisticamente, si ganamos las mismas veces que perdemos obtendremos la mitad del premio:

\frac{1.75}{2}=0.83

Así pues, estadisticamente de media perderias dinero jugando con un 50% de ganar. Ahora con una sencilla regla de 3 podemos establecer el número de veces que tenemos que ganar para obtener beneficios del juego.

0,83$->50%
1$->x%

Despejando obtenemos 60,24%, que son las veces que debemos ganar de media para no perder dinero por culpa del rake.

Introducción a la integral desde la probabilidad de un dado

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Podemos ampliar el concepto de integración a problemas de azar. Para ello primero definiremos a grandes rasgos en que consiste la integración.

La gran capacidad intuitiva de una derivada es la de poder calcular el área que genera una curva. Para ello se emplea un proceso de partición en figuras rectangulares fáciles de calcular cada vez mas pequeñas (integración es el proceso inverso de desintegración).

Para ello se emplea la derivada (la formula que establece el incremeneto de una función), como herramienta. Así pues cuando definimos una integral, decimos que queremos saber cual es el área que genera una función x desde el punto a al punto b.


\int_{a}^{b} f(x) \cdot dx

Esto es lo mismo que


\int_{a}^{b} F'(x) \cdot dx = F(b) - F(a)

Donde la dervidada de F(x) es f(x). dx es una constante que significa el incremento de x (estos son los segmentos a los que calculamos los áreas de la curva). Esto define le teorema fundamental del calculo, ahora para comprobar el potencial de veamos la integrada en la capacidad de un dado de 6 caras. Sabemos que la probabilidad de sacar una cierta cara del dado es de 1/6. ¿Pero que ocurriria si quisieramos saber la probabilidad acumulada?.

Un grafico que lo expresa es el siguiente

dados integral

Esto significa que :

  • Probabilidad de que salga un 1 o menos es de 1/6
  • Probabilidad de que salga un 2 o menos es de 2/6
  • Probabilidad de que salga un 3 o menos es de 3/6
  • Probabilidad de que salga un 4 o menos es de 4/6
  • Probabilidad de que salga un 5 o menos es de 5/6
  • Probabilidad de que salga un 6 o menos es de 6/6

Bueno, pues nuestra misión es hallar la primitiva de la probabilidad de que salga algúna cara del dado. Así pues, la función que define la probabilidad simple es tan facil como f(x) = 1/6. Definimos el dominio como [1-6].

Así con todo esto la integral que define la probabilidad acumulada es tan facil como la siguiente:


\int_{a}^{b}1/6 \cdot 1

¿Y que significa esto?. Por ejemplo si establecemos a como 2 y b como 4, lo que hacemos es sencillamente sumar el resultado de f(2) + f(3) + f(4) = 3/6, que es la probabilidad acumulada en la que puede salir el dado los numeros entre 2 y 4.

Calculo de probabilidades en el poker

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Buenos, vamos a plantear una serie de ejercicios básicos sobre las probabilidades en el poker. Para ello nos valdremos de la herramienta del cociente binominal que explicamos en el artículo anterior.

Concer las probabilidades de que nos toque una pareja en la mano inicial.

Partiendo de que hay 6 formas de combinar una pareja.

As de tréboles As de corazones

As de tréboles As de espadas

As de tréboles As de diamantes

As de corazones As de espadas

As de corazones As de diamantes

As de espadas As de diamantes
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Variaciones y combinaciones

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Bueno, aqui vamos a explicar un poco la teoria matematica que esconde el coeficiente binomial que emplea juegos en los cuales parte de la premisa de saber como ordenar un conjunto de n objetos. (Como por ejemplo, como combinar distintas manos en el Poker).

Para ello primer estudiaremos el concepto de variación.

Una variación de orden k de n objetos (k< =n) es una lista ordenada de k objetos distintos elegidos entre n objetos dados. También se suele llamar variación de n elementos tomados de k en k.

Un problema sencillo de este ejemplo es tenemos 5 propiedades distintas de coches:

      Seguridad
      Fiabilidad
      Consumo
      Comodidad
      Precio

Si tenemos 15 coches y queremos asignar a cada propiedad el coche que mejor la representa, ojo, sin que 1 coche pueda tener 2 propiedades. ¿Cuantas distintas variaciones tendriamos?. Para ello aplicamos el principiop de la multiplicación. Para la primera propiedad tenemos 15 posibilidades, para la segunda 14 y así sucesivamente:

\frac{Propiedad\,1}{15\,Elecciones},\frac{Propiedad\,2}{14\,Elecciones},\frac{Propiedad\,3}{13\,Elecciones},\frac{Propiedad\,4}{12\,Elecciones},\frac{Propiedad\,5}{11\,Elecciones}

Esto se puede ver de la siguiente forma:

V{15\choose 5} = {15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11} = \frac{15!}{(15 - 5)!}

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